Division von Polynomen: Methoden und Schritt für Schritt

Abteilung von Polynome hat verschiedene Auflösungsmethoden. Wir werden drei Methoden für diese Aufteilung vorstellen: die Descartes-Methode (Koeffizienten noch zu bestimmen), die Schlüsselmethode und das praktische Briot-Ruffini-Gerät.

Weiterlesen: Polynomgleichung: Form und Lösungsweg

Polynomdivision

Beim Dividieren eines Polynoms P (x) durch ein Nicht-Null-Polynom D (x), wobei der Grad von P größer als D ist (_P > _D), bedeutet, dass wir ein Polynom Q (x) und R (x) finden müssen, so dass:

Beachten Sie, dass dieser Vorgang dem Schreiben entspricht:

P (x) → Dividende

D (x) → Teiler

Q (x) → Quotient

R (x) → Rest

Aus den Eigenschaften der Potenzierung, wir müssen Quotientengrad ist gleich der Differenz zwischen Dividenden- und Divisorgrad.

_{Q = P - D}

Auch wenn der Rest der Division zwischen P(x) und D(x) gleich Null ist, sagen wir, dass P(x) teilbar durch D(x).

Eine Division von Polynomen kann mit verschiedenen Methoden gelöst werden.

Regeln für die Polynomdivision

• Methode der zu bestimmenden Koeffizienten — Methode der wirft ab

Um die Division zwischen den Polynomen P (x) und D (x) durchzuführen, wobei der Grad von P größer als der Grad von D ist, befolgen wir die Schritte:

Schritt 1 - Bestimmen Sie den Grad des Quotientenpolynoms Q (x);

Schritt 2 - Nehmen Sie für den Rest der Division R(X) so viel Grad wie möglich (Denken Sie daran: R(x) = 0 or _R < _D);

Schritt 3 - Schreiben Sie die Q- und R-Polynome mit Literalkoeffizienten, so dass P(x) = D(x) · Q(x) + R(x) gilt.

• Beispiel

Wissen, dass P (x) = 4x³ – x² + 2 und dass D (x) = x² + 1, bestimmen das Quotientenpolynom und den Rest.

Der Quotientengrad ist 1, weil:

_Q =_{P - D}

_Q =3 – 2

_Q = 1

Im Polynom Q(x) = a·x +b ist also der Rest R(x) ein Polynom, dessen höchster Grad 1 sein kann, also: R(x) = c ·x +d. Wenn wir die Daten in der Bedingung von Schritt 3 ersetzen, haben wir:

Vergleicht man die Koeffizienten der Polynome, so erhält man:

Daher ist das Polynom Q (x) = 4x-1 und R (x) = -4x + 3.

• c-Methodehaben

Es besteht darin, die Division zwischen Polynomen nach dem gleiche Idee, zwei Zahlen zu teilen, der Anruf Divisionsalgorithmus. Siehe das folgende Beispiel.

Betrachten wir wieder die Polynome P(x) = 4x³ – x² + 2 und D (x) = x² +1, und jetzt werden wir sie mit der Schlüsselmethode aufteilen.

Schritt 1 - Vervollständigen Sie das Dividendenpolynom mit Nullkoeffizienten, falls erforderlich.

P(x) = 4x³ – x² + 0x + 2

Schritt 2 - Den ersten Term des Dividenden durch den ersten Term des Divisors dividieren und dann den Quotienten mit jedem Divisor multiplizieren. Aussehen:

Schritt 3 - Teilen Sie den Rest aus Schritt 2 durch den Quotienten und wiederholen Sie diesen Vorgang, bis der Grad des Restes kleiner ist als der Grad des Quotienten.

Daher ist Q (x) = 4x-1 und R (x) = -4x +3.

Auch zugreifen: Addition, Subtraktion und Multiplikation von Polynomen

• Briots praktisches GerätRuffini

benutzt für dividiere Polynome durch Binome.

Betrachten wir die Polynome: P(x) = 4x³ + 3 und D(x) = 2x + 1.

Diese Methode besteht darin, zwei Segmente zu zeichnen, ein horizontales und ein vertikales, und auf diesen Segmenten wir setzen den Koeffizienten des Dividenden und die Wurzel des Divisorpolynoms, zusätzlich wird das erste wiederholt Koeffizient. Aussehen:

Beachten Sie, dass der kleinste Mittelwert die Wurzel des Divisors ist und dass der erste Koeffizient geteilt wurde.

Jetzt müssen wir die Wurzel des Divisors mit dem wiederholten Term multiplizieren und zum nächsten addieren, siehe:

Die letzte im praktischen Gerät gefundene Zahl ist der Rest, und der Rest sind die Koeffizienten des Quotientenpolynoms. Wir müssen diese Zahlen durch den ersten Koeffizienten des Teilers dividieren, in diesem Fall durch 2. So:

Um mehr über diese Methode zum Dividieren von Polynomen zu erfahren, gehen Sie zu: Division von Polynomen mit dem Briot-Ruffini-Gerät.

Übungen gelöst

Frage 1 (UFMG) Das Polynom P (x) = 3x⁵ - 3x⁴ -2x³ + mx² ist teilbar durch D (x) = 3x² - 2x. Der Wert von m ist:

Lösung

Da das Polynom P durch D teilbar ist, können wir den Divisionsalgorithmus anwenden. So,

Da Polynome teilbar sind, ist der Rest gleich Null. Bald,

von Robson Luis
Mathematiklehrer

Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/divisao-de-polinomios.htm